令 $g(x)=2x^3-9x^2+12x$，则 $f(x)=g(x)-a$，且 $g^{\prime }(x)=6(x-1)(x-2)$。

$g$ 在 $x=1$ 处取极大值 $g(1)=5$，在 $x=2$ 处取极小值 $g(2)=4$。水平线 $y=a$ 只有在 $a=4$ 或 $a=5$ 时与三次曲线有一个二重交点和一个单交点，因而恰有两个不同零点。

给定选项中只有 $a=4$，所以选 B。