2000 · 数学二 · 第 15 题 · 解答题

某湖泊的水量为

V

，每年排入湖泊内含污染物

A

的污水量为

\frac{V}{6}

，流入湖泊内不含

A

的水量为

\frac{V}{6}

，流出湖泊的水量为

\frac{V}{3}

。已知

1999

年底湖中

A

的含量为

5 m_{0}

，超过国家规定指标。为了治理污染，从

2000

年初起，限定排入湖泊中含

A

污水的浓度不超过

\frac{m _{0}}{V}

。问至多需要经过多少年，湖泊中污染物

A

的含量降至

m_{0}

以内？（注：设湖水中

A

的浓度是均匀的。）

答案

至多 $6 ln 3$ 年（约 $6.59$ 年；按整年计不晚于第 $7$ 年）。

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设从 2000 年初起经过 $t$ 年时湖中污染物含量为 $m (t)$ 。流出污染物的速率为 $\frac{m ( t )}{3}$ ，流入污染物的速率不超过 $\frac{m _{0}}{6}$ ，故最不利情形满足 $m^{'} (t) = \frac{m _{0}}{6} - \frac{m ( t )}{3}$ ，且 $m (0) = 5 m_{0}$ 。

该方程的解为 $m (t) = \frac{m _{0}}{2} + \frac{9 m _{0}}{2} e^{- \frac{t}{3}}$ 。实际流入浓度更低时，污染物含量不会超过此值。

令最不利情形下降到 $m_{0}$ ，得 $\frac{1}{2} + \frac{9}{2} e^{- \frac{t}{3}} = 1$ ，所以 $t = 3 ln 9 = 6 ln 3 \approx 6.59$ 。因此至多经过 $6 ln 3$ 年即可；若按完整年份计，则不晚于第 7 年。