1996 · 数学三 · 第 21 题 · 解答题

设

f (x)

为连续函数，

a

为正常数。

(1) 求初值问题 ${y^{'} + a y = f (x) y ∣_{x = 0} = 0$ 的解 $y (x)$ ；
(2) 若 $∣ f (x) ∣ \leq k$ （ $k$ 为常数），证明：当 $x \geq 0$ 时，有 $∣ y (x) ∣ \leq \frac{k}{a} (1 - e^{- a x})$ 。

答案

$y (x) = e^{- a x} \int_{0}^{x} e^{a t} f (t) d t$

证明见解析

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方程乘以积分因子 $e^{a x}$ ，得 $(e^{a x} y)^{'} = e^{a x} f (x)$ 。

从 $0$ 到 $x$ 积分并利用 $y (0) = 0$ ，得 $y (x) = e^{- a x} \int_{0}^{x} e^{a t} f (t) d t$ 。

当 $x \geq 0$ 时，由第（1）问及 $∣ f (t) ∣ \leq k$ ，有 $∣ y (x) ∣ \leq e^{- a x} \int_{0}^{x} e^{a t} ∣ f (t) ∣ d t$ 。

因此

∣ y (x) ∣ \leq k e^{- a x} \int_{0}^{x} e^{a t} d t = \frac{k}{a} (1 - e^{- a x}),

证毕。