高斯公式与形心。区域为 $\Omega :x,y,z\ge 0,2x+y+2z\le 2$，四顶点为 $(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1)$。整个边界取外侧，向量场 $(x^2+1,-2y,3z)$ 在全空间光滑，故

四面体体积为 $V=1\cdot 2\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{3}$，形心横坐标为四个顶点横坐标的平均值 $\bar{x}=\frac{1}{4}$。于是 ${\iiint }_{\Omega }x\mathrm{d}V=\bar{x}V=\frac{1}{12}$，从而 $I=\frac{2}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$。

高斯公式与截面计算。因整个边界取外侧且向量场光滑，散度为 $2x+1$，所以 $I={\iiint }_{\Omega }(2x+1)\mathrm{d}V$。
固定 $x\in [0,1]$，截面满足 $y,z\ge 0$、$y+2z\le 2-2x$，为两直角边长 $2(1-x)$、$1-x$ 的三角形，面积 $(1-x{)}^2$。因此