初值点 $x=\mathrm{e}$ 位于区间 $(1,+\infty )$。在这个区间上 $x\ln x\ne 0$，将方程写成 $y^{\prime }+\frac{1}{x\ln x}y=\frac{1}{x}$。

一阶线性方程的积分因子可取 $\ln x$，于是 $(y\ln x{)}^{\prime }=\frac{\ln x}{x}$。积分得到 $y\ln x=\frac{1}{2}(\ln x{)}^2+C$。

代入 $y(\mathrm{e})=0$，得 $C=-\frac{1}{2}$，从而 $y=\frac{(\ln x{)}^2-1}{2\ln x}$。该解在包含初值点的区间 $(1,+\infty )$ 上成立；在 $x=1$ 处发散，不能跨过该点延拓。