1997 · 数学一 · 第 11 题 · 解答题

计算

I = ∭_{Ω} (x^{2} + y^{2}) d V

，其中

Ω

为平面曲线

{y^{2} = 2 z x = 0

绕

z

轴旋转一周形成的曲面与平面

z = 8

所围成的区域。

答案

$\frac{1024 π}{3}$

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旋转曲面为 $x^{2} + y^{2} = 2 z$ 。令 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ，则区域由 $0 \leq r \leq 4$ 、 $\frac{r ^{2}}{2} \leq z \leq 8$ 、 $0 \leq θ \leq 2 π$ 描述。

故

I = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{4} \int_{\frac{r ^{2}}{2}}^{8} r^{2} r d z d r d θ = 2 π \int_{0}^{4} r^{3} (8 - \frac{r ^{2}}{2}) d r = \frac{1024 π}{3} .