记 $a=f_x(1,1)$、$b=f_y(1,1)$，则 $\mathrm{d}f(1,1)=a\mathrm{d}x+b\mathrm{d}y$。为区分曲线参数与函数自变量，把两条恒等式中的参数记为 $t$。
（1）对 $f(t+1,{\mathrm{e}}^t)=t(t+1{)}^2$ 求导，得

在 $t=0$ 时曲线经过 $(1,1)$，故 $a+b=1$。
（2）对 $f(t,t^2)=2t^2\ln t$ 求导，得 $f_x(t,t^2)+2t{f}_y(t,t^2)=4t\ln t+2t$。这条曲线在 $t=1$ 时经过 $(1,1)$，故 $a+2b=2$。
（3）两式相减得 $b=1$，再代回得 $a=0$，所以 $\mathrm{d}f(1,1)=\mathrm{d}y$，选 C。
两条曲线给出的函数值均为 $f(1,1)=0$。其余选项中，A 对应 $(a,b)=(1,1)$，不满足第二式；B 对应 $(1,-1)$，D 对应 $(0,-1)$，均不满足第一式。两条曲线代入的参数不同，不能都取 $0$ 或都取 $1$。