（1）把数列极限转化为方程。题设已知 $\{x_n\}$ 收敛，设 $x_n\to A\in \mathbb{R}$。四项涉及的函数均在实数轴上连续，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }g(x_n)=g(A)$。只需判断相应方程 $g(A)=0$ 是否唯一确定 $A=0$。
（2）排除 A、B、C。A 给出 $\sin A=0$，其根为 $A=k\pi$，$k\in \mathbb{Z}$，不唯一。取常数列 $x_n=\pi$，即得反例。
B 给出 $A+\sqrt{|A|}=0$。当 $A>0$ 时左端为正，无根；当 $A\le 0$ 时令 $A=-s$、$s\ge 0$，则 $-s+\sqrt{s}=\sqrt{s}(1-\sqrt{s})=0$，故 $A=0$ 或 $A=-1$。取 $x_n=-1$，则 $x_n+\sqrt{|x_n|}=0$ 而 $x_n\to -1$，B 不正确。
C 给出 $A+A^2=A(1+A)=0$，仍有 $A=0$、$A=-1$ 两根；同取 $x_n=-1$ 即可否定 C。
（3）证明 D。条件给出 $A+\sin A=0$。设 $h(t)=t+\sin t$，则 $h^{\prime }(t)=1+\cos t\ge 0$，且仅在孤立点 $t=(2k+1)\pi$ 处为零。对任意 $u<v$，连续函数 $h^{\prime }$ 在 $[u,v]$ 上非负且不恒为零，因此

所以 $h$ 严格递增，至多有一个零点。又 $h(0)=0$，故 $A+\sin A=0$ 只能给出 $A=0$，即 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$，选 D。