当 $x=0$ 时级数各项均为零，显然收敛。以下对 $x\ne 0$ 使用比值判别。设通项绝对值为 $b_n=\frac{|x{|}^{2n+1}}{n(2n-1)}$，则 $\frac{b_{n+1}}{b_n}=x^2\frac{n(2n-1)}{(n+1)(2n+1)}\to x^2$。

故 $|x|<1$ 时绝对收敛，$|x|>1$ 时通项不趋于零。当 $|x|=1$ 时，绝对值为 $\frac{1}{n(2n-1)}=O(n^{-2})$，也收敛，所以收敛域为 $[-1,1]$。

利用 $\frac{1}{n(2n-1)}=-\frac{1}{n}+\frac{2}{2n-1}$，在收敛区间内有

由 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^{2n}}{n}=\ln (1+x^2)$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^{2n}}{2n-1}=x\arctan x$，得到 $S(x)=2x^2\arctan x-x\ln (1+x^2)$。端点处级数绝对收敛，公式由阿贝尔定理及连续延拓成立。