令 $u=x^2+y^2-1$，则 $P=\frac{x}{u}$、$Q=-\frac{ay}{u}$。在开圆盘 $D$ 内 $u<0$，分母非零，$P,Q$ 有连续偏导数，且 $D$ 单连通。因此积分与路径无关等价于 $P_y=Q_x$ 在 $D$ 内恒成立。
分别求导得

两者相等即 $2(a+1)xy=0$ 对所有 $(x,y)\in D$ 成立。取区域内点 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，此时 $xy\ne 0$，所以 $a=-1$。
当 $a=-1$ 时，也可直接验证

对数在 $D$ 上有意义，故确为全局单值函数的全微分，条件充分。