两曲线在 $(x_0,y_0)$ 处相切，故函数值和导数分别相等：

由导数相等式得 $a\sqrt{x_0}=1$。代入函数值相等式，得到 $\frac{1}{2}\ln x_0=1$，所以 $x_0=e^2$，进而

由切线斜率相等可得 $a\sqrt{x_0}=1$，而两曲线在切点的函数值相等，所以 $y_0=1$。再由 $y_0=\frac{1}{2}\ln x_0$，得 $x_0=e^2$。

故切点为

由第一问知 $a=\frac{1}{e}$。曲线 $y=\frac{1}{2}\ln x$ 与 $x$ 轴交于 $x=1$，两曲线交于 $x=e^2$，而 $y=\frac{1}{e}\sqrt{x}$ 与 $x$ 轴交于 $x=0$。令 $u=\sqrt{x}$，则 $\frac{u}{e}-\ln u$ 在 $u=e$ 处取得最小值 $0$，故在相关区间内根号曲线位于对数曲线上方。

所围面积为

合并并计算得