1991 · 数学二 · 第 14 题 · 解答题

令 $t = x - 1$ ，则 $x^{2} - 2 x = t^{2} - 1$ 。当 $x$ 从 $3$ 越过上限趋于 $+ \infty$ 时， $t$ 从 $2$ 趋于 $+ \infty$ ，故原积分为

\int_{2}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{4} t ^{2} - 1} .

在 $t \geq 2$ 上令 $t = sec θ$ ，取 $θ \in [\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 。于是 $t^{2} - 1 = tan θ$ ， $d t = sec θ tan θ d θ$ ，从而

\int_{2}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{4} t ^{2} - 1} = \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} cos^{3} θ d θ .

计算端点值得

\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} cos^{3} θ d θ = [sin θ - \frac{sin ^{3} θ}{3}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} = \frac{2}{3} - \frac{3 3}{8} = \frac{16 - 9 3}{24} .

答案