记 $E={\mathrm{e}}^{y+az}>0$。对 $x-az={\mathrm{e}}^{y+az}$ 分别关于 $x$、$y$ 求偏导：

因 $a\ne 0$ 且 $1+E>0$，解得 $z_x=\frac{1}{a(1+E)}$、$z_y=-\frac{E}{a(1+E)}$，从而

故选 A。两者之和为 $\frac{1-E}{a(1+E)}$，并非常数 $\pm \frac{1}{a}$；例如 $(x,y,z)=(1,0,0)$ 满足方程，此时 $E=1$，两偏导之和为 $0$，可排除 B、D。由于 $a\ne 0$，$\frac{1}{a}\ne -\frac{1}{a}$，也排除 C。

令 $F(x,y,z)=x-az-{\mathrm{e}}^{y+az}$，则 $F_x=1$、$F_y=-{\mathrm{e}}^{y+az}$、$F_z=-a(1+{\mathrm{e}}^{y+az})\ne 0$。由隐函数求导公式，

故选 A。