对第一组样本，利用恒等式

及 $E\overline{X}={\mu }_1$、$D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n_1}$，取期望得

此推导在 $n_1=1$ 时也成立；第二组同理。

由期望的线性性及 $n_1+n_2-2>0$，原式为

这里不需要两组样本之间相互独立。