若 $a=b$，则积分和 $f(\eta )(b-a)$ 都为 $0$，任取 $\eta =a$ 即可。以下设 $a<b$。

由连续性，$f$ 在 $[a,b]$ 上取得最小值 $m$ 和最大值 $M$，且

积分后得

由于连续函数在区间上取得介于 $m$ 与 $M$ 之间的所有值，存在 $\eta \in [a,b]$ 使

两边乘以 $b-a$，即得 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\eta )(b-a)$。

反设在 $(1,3)$ 上没有 ${\phi }^{\prime \prime }(\xi )<0$ 的点，则 ${\phi }^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 对所有 $x\in (1,3)$ 成立，从而 ${\phi }^{\prime }$ 在该区间单调不减。

由 $\phi (2)>\phi (1)$ 和拉格朗日中值定理，存在 $c\in (1,2)$ 使

对任意 $x\in (2,3)$，再对 $[2,x]$ 使用中值定理，取 $d\in (2,x)$，则

故 ${\int }_2^3\phi (x)\mathrm{d}x>\phi (2)$，与题设矛盾。因此至少存在 $\xi \in (1,3)$ 使 ${\phi }^{\prime \prime }(\xi )<0$。