2014 · 数学三 · 第 11 题 · 填空题

（1）先作分部积分，对任意实数 $a$ 都有

\int_{0}^{a} x e^{2 x} d x = [\frac{x e ^{2 x}}{2}]_{0}^{a} - \frac{1}{2} \int_{0}^{a} e^{2 x} d x = \frac{a e ^{2 a}}{2} - \frac{e ^{2 a}}{4} + \frac{1}{4} .

（2）代入题设积分值 $\frac{1}{4}$ ，得 $\frac{e ^{2 a} ( 2 a - 1 )}{4} = 0$ 。由于 $e^{2 a} > 0$ ，故 $2 a - 1 = 0$ ，唯一解为 $a = \frac{1}{2}$ 。
将 $a = \frac{1}{2}$ 代回上式，积分等于 $\frac{e}{4} - \frac{e}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ ，满足题设。

答案