1990 · 数学一 · 第 12 题 · 解答题

设

z = f (2 x - y, y sin x)

，其中

f (u, v)

具有连续的二阶偏导数，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

答案

$- 2 f_{uu} + (2 sin x - y cos x) f_{uv} + y sin x cos x f_{v v} + cos x f_{v}$ ，其中各偏导数均在 $(u, v) = (2 x - y, y sin x)$ 处取值

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令 $u = 2 x - y$ 、 $v = y sin x$ 。先对 $x$ 求偏导，得到

z_{x} = 2 f_{u} + y cos x f_{v} .

再对 $y$ 求偏导。注意 $u_{y} = - 1$ 、 $v_{y} = sin x$ ，故

\partial_{y} (2 f_{u}) = - 2 f_{uu} + 2 sin x f_{uv},

\partial_{y} (y cos x f_{v}) = cos x f_{v} - y cos x f_{uv} + y sin x cos x f_{v v} .

相加可得

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = - 2 f_{uu} + (2 sin x - y cos x) f_{uv} + y sin x cos x f_{v v} + cos x f_{v},

其中各偏导数均在 $(2 x - y, y sin x)$ 处取值。