由 ${\alpha }^T\alpha =2$，有 $A^2=\alpha ({\alpha }^T\alpha ){\alpha }^T=2A$，从而 $A^n=2^{n-1}A$。

矩阵 $A=\alpha {\alpha }^T$ 在 $\alpha$ 方向上的特征值为 $2$，在其正交补上的两个特征值为 $0$。因此 $A^n$ 的特征值为 $2^n,0,0$。

于是 $kE-A^n$ 的特征值为 $k-2^n,k,k$，故 $\det (kE-A^n)=k^2(k-2^n)$。