补入 $k=n$ 项，其值为 $n\ln 1=0$，不改变和式。于是

$$\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n-1}k\ln \frac{k}{n}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\ln \frac{k}{n}.$$

令 $f(x)=x\ln x$（$0<x\le 1$），并定义 $f(0)=0$。因为 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$，补充定义后 $f$ 在 $[0,1]$ 连续。上式为区间 $n$ 等分的右端点黎曼和，故原极限等于 ${\int }_0^{1}x\ln x\mathrm{d}x$。
在 $[\epsilon ,1]$ 上分部积分，再令 $\epsilon \to 0^{+}$，得到

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{1}x\ln x\mathrm{d}x& =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\left[\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\right]}_{\epsilon }^1\\ & =-\frac{1}{4},\end{array}$$

其中 ${\epsilon }^2\ln \epsilon \to 0$。所用的 $x\ln x\to 0$ 可由 $\frac{\ln x}{(\frac{1}{x})}$ 使用洛必达法则，化为极限 $-x\to 0$；再乘 $x$ 即得 $x^2\ln x\to 0$。因此答案为 $-\frac{1}{4}$。