图示区域是半径 $2$ 的圆盘减去圆心 $(-1,0)$、半径 $1$ 的圆盘。令 $x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$，则被积函数为 $r(1+\sin \theta )$。

在大圆盘上，关于 $x$ 轴对称的 $y$ 项积分为零，因此

小圆盘在极坐标中为 $\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{3\pi }{2}$、$0\le r\le -2\cos \theta$。其中 $y$ 项仍因对称性积分为零，故其 $r$ 项为 $\frac{1}{3}{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}(-2\cos \theta {)}^3\mathrm{d}\theta =\frac{32}{9}$。

所以所求积分为 $\frac{16\pi }{3}-\frac{32}{9}=\frac{48\pi -32}{9}$。