2007 · 数学二 · 第 8 题 · 选择题

设函数

f (x, y)

连续，则二次积分

\int_{\frac{π}{2}}^{π} d x \int_{s i n x}^{1} f (x, y) d y

等于（　　）。

答案

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原积分区域为

\frac{π}{2} \leq x \leq π, sin x \leq y \leq 1.

在这段区间上 $sin x$ 从 $1$ 单调下降到 $0$ ，所以 $0 \leq y \leq 1$ 。

固定 $y \in [0, 1]$ 时，条件 $sin x \leq y$ 在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上等价于

π - arcsin y \leq x \leq π .

因此交换次序后的积分为

\int_{0}^{1} d y \int_{π - a r c s i n y}^{π} f (x, y) d x,

对应选项 B。