2014 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

设总体

X

的分布函数为

F (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - e^{- \frac{x ^{2}}{θ}}, 0, x \geq 0, x < 0,

，其中

θ > 0

未知，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本。

(1) 求 $E (X)$ 与 $E (X^{2})$ ；
(2) 求 $θ$ 的最大似然估计量 $θ^_{n}$ ；
(3) 是否存在实数 $a$ ，使得对任何 $ϵ > 0$ ，都有 $n \to \infty lim P {∣ θ^_{n} - a ∣ \geq ϵ} = 0$ 。

答案

第 1 问

$E (X) = \frac{π θ}{2}$ ， $E (X^{2}) = θ$ 。

第 2 问

$θ_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2}$ 。

第 3 问

存在，且唯一的值为 $a = θ$ 。

查看解析展开

第 1 问

对分布函数求导，得 $f (x; θ) = \frac{2 x}{θ} e^{- \frac{x ^{2}}{θ}}$ （ $x > 0$ ），其余处为零。令 $t = \frac{x ^{2}}{θ}$ ，则

E (X) E (X^{2}) = \int_{0}^{\infty} x \frac{2 x}{θ} e^{- \frac{x ^{2}}{θ}} d x = θ \int_{0}^{\infty} t^{\frac{1}{2}} e^{- t} d t = \frac{π θ}{2}, = θ \int_{0}^{\infty} t e^{- t} d t = θ .

其中 $Γ (\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} Γ (\frac{1}{2}) = \frac{π}{2}$ ，而第二个积分分部积分得 $1$ 。也可直接用尾概率： $E (X) = \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{x ^{2}}{θ}} d x = \frac{π θ}{2}$ 。

第 2 问

对几乎必然为正的观测值，记 $Q = \sum x_{i}^{2}$ ，则 $L (θ) = 2^{n} (\prod x_{i}) θ^{- n} e^{- \frac{Q}{θ}}$ 。取对数得

ℓ (θ) = n ln 2 + i = 1 \sum n ln x_{i} - n ln θ - \frac{Q}{θ}, ℓ^{'} (θ) = \frac{Q - n θ}{θ ^{2}} .

导数在 $\frac{Q}{n}$ 左侧为正、右侧为负，故最大似然估计量为 $θ_{n} = \sum \frac{X _{i}^{2}}{n}$ 。

第 3 问

由第一问， $X_{i}^{2}$ 独立同分布且有有限期望 $E (X_{i}^{2}) = θ$ 。辛钦大数定律给出 $θ_{n} = \sum \frac{X _{i}^{2}}{n} P θ$ ，即对任意 $ϵ > 0$ ， $P (∣ θ_{n} - θ ∣ \geq ϵ) \to 0$ ，所以取 $a = θ$ 即可。
若另有 $a^{'} \neq = θ$ 满足条件，令 $ϵ = \frac{∣ a ^{'} - θ ∣}{2}$ 。事件 ${∣ θ_{n} - a^{'} ∣ < ϵ}$ 与 ${∣ θ_{n} - θ ∣ < ϵ}$ 不相交，但按假设二者概率都趋于 $1$ ，矛盾。因此这样的常数唯一。