1996 · 数学一 · 第 12 题 · 解答题

设

x_{1} = 10, x_{n + 1} = 6 + x_{n}

（

n = 1, 2, \dots

），试完成下列各问：

答案

证明见解析

$3$

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先证 $x_{n} > 3$ 。因为 $x_{1} = 10 > 3$ ，且若 $x_{n} > 3$ ，则 $x_{n + 1} = 6 + x_{n} > 3$ ，所以该结论由归纳法成立。

当 $x_{n} > 3$ 时， $x_{n}^{2} - x_{n} - 6 = (x_{n} - 3) (x_{n} + 2) > 0$ ，故 $x_{n + 1} = 6 + x_{n} < x_{n}$ 。因此数列单调递减且以 $3$ 为下界，极限存在。

由第一问，数列收敛且各项大于 $3$ 。设极限为 $L$ 。由 $x_{n} > 3$ 知 $L \geq 3$ 。在递推式两边取极限，得 $L = 6 + L$ ，即 $(L - 3) (L + 2) = 0$ 。

结合 $L \geq 3$ ，只能取 $L = 3$ 。