1989 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

已知某企业的总收入函数为

R = 26 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}

，总成本函数为

C = 8 x + x^{2}

，其中

x

表示产品的产量。

答案

$L (x) = 18 x - 3 x^{2} - 4 x^{3}$

$R^{'} (x) = 26 - 4 x - 12 x^{2}$

$C^{'} (x) = 8 + 2 x$

产量为 $x = 1$ 时利润最大，最大利润为 $11$ 。

查看解析展开

利润等于总收入减总成本，因此

L (x) = R - C = (26 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}) - (8 x + x^{2}) = 18 x - 3 x^{2} - 4 x^{3} .

边际收入为 $R^{'} (x) = 26 - 4 x - 12 x^{2}$ 。

边际成本为 $C^{'} (x) = 8 + 2 x$ 。

产量满足 $x \geq 0$ 。利润函数的导数为

L^{'} (x) = 18 - 6 x - 12 x^{2} = - 6 (2 x + 3) (x - 1) .

在 $[0, 1)$ 上 $L^{'} (x) > 0$ ，在 $(1, + \infty)$ 上 $L^{'} (x) < 0$ ，故 $x = 1$ 给出全局最大利润。

代入得 $L (1) = 18 - 3 - 4 = 11$ 。