区域 $D$ 是上半圆盘，函数连续，故只需考察内部驻点和边界。偏导数为

内部驻点为 $(\pm \sqrt{2},1)$，函数值为 $2$。

在边界 $y=0$ 上，$f=x^2$，取值范围为 $[0,4]$。在圆弧 $x^2+y^2=4$ 上令 $t=y^2\in [0,4]$，则

它在 $t=\frac{3}{2}$ 处取最小值 $\frac{7}{4}$，在 $t=4$ 处取最大值 $8$。综合得最小值 $0$（在 $(0,0)$），最大值 $8$（在 $(0,2)$）。