$a=-2$

$Q=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& -\frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right),Q^{T}AQ=\mathrm{diag}(0,3,-3)$

计算得 $\det A=-(a-1{)}^2(a+2)$。方程有解但不唯一要求 $A$ 奇异，故先有 $a=1$ 或 $a=-2$。

当 $a=1$ 时，$A$ 的列空间由 $(1,1,1{)}^T$ 张成，而 $\beta =(1,1,-2{)}^T$ 不在其中，方程无解，排除。

当 $a=-2$ 时，$A(1,1,1{)}^T=0$，且 ${\beta }^T(1,1,1)=0$。又左上二阶子式为 $1\cdot (-2)-1\cdot 1=-3\ne 0$，所以 $r(A)=2$，零空间恰由 $(1,1,1{)}^T$ 张成。由于 $A$ 对称，其列空间等于零空间的正交补，故$\beta$ 属于其列空间，方程有无穷多解。因此 $a=-2$。

由第一问确定的参数，当 $a=-2$ 时，矩阵的三个两两正交特征向量可取 $(1,1,1{)}^T$、$(1,0,-1{)}^T$、$(1,-2,1{)}^T$，对应特征值分别为 $0,3,-3$。

将它们单位化并依次作为列向量，得到

于是 $Q^{T}Q=I$，且 $Q^{T}AQ=\mathrm{diag}(0,3,-3)$。