由莱布尼茨公式，积分上限处的被积函数为零，故

由 $f(0)=0$、$f^{\prime }(0)\ne 0$ 及导数连续，$f(t)=f^{\prime }(0)t+o(t)$。所以 ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(0)x^2+o(x^2)$，从而 $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)x^3+o(x^3)$。故 $k=3$，选择 C。