$f(t)=25t{e}^{-5t}(t\ge 0)$；$f(t)=0(t<0)$

$E(T)=\frac{2}{5}$

$\mathrm{Var}(T)=\frac{2}{25}$

设两台记录仪的无故障工作时间为 $X,Y$，则 $X,Y$ 相互独立，且均服从参数为 $5$ 的指数分布，$f_X(x)=f_Y(x)=5e^{-5x}(x\ge 0)$。

总工作时间为 $T=X+Y$。由卷积公式，当 $t\ge 0$ 时，$f_T(t)={\int }_0^{t}5e^{-5x}\cdot 5e^{-5(t-x)}dx=25t{e}^{-5t}$；当 $t<0$ 时，$f_T(t)=0$。

沿用第一问定义的独立等待时间 $X,Y$ 及其指数分布。由 $T=X+Y$ 及期望的可加性，$E(T)=E(X)+E(Y)=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$。

沿用第一问定义的独立等待时间 $X,Y$ 及其指数分布。参数为 $5$ 的指数分布满足 $\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y)=\frac{1}{25}$。

因为 $X,Y$ 独立，