2010 · 数学二 · 第 10 题 · 填空题

曲线

y = \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} + 1}

的渐近线方程为。

答案

$y = 2 x$

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因 $x^{2} + 1 > 0$ ，函数在实轴连续，不存在竖直渐近线。当 $x \to \pm \infty$ 时， $f (x) = \frac{2 x}{1 + \frac{1}{x ^{2}}} \to \pm \infty$ ，所以没有水平渐近线。
求斜渐近线 $y = k x + b$ ：

k b = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to \pm \infty lim \frac{2 x ^{2}}{x ^{2} + 1} = 2, = x \to \pm \infty lim [f (x) - 2 x] = x \to \pm \infty lim \frac{2 x ^{3} - 2 x ( x ^{2} + 1 )}{x ^{2} + 1} = x \to \pm \infty lim \frac{- 2 x}{x ^{2} + 1} = 0.

两个方向得到同一直线，因此唯一渐近线为 $y = 2 x$ 。

用多项式带余除法，将函数写成

f (x) = \frac{2 x ( x ^{2} + 1 ) - 2 x}{x ^{2} + 1} = 2 x - \frac{2 x}{x ^{2} + 1} .

当 $x \to \pm \infty$ 时，余项 $- \frac{2 x}{x ^{2} + 1} \to 0$ ，故 $f (x) - 2 x \to 0$ ， $y = 2 x$ 是斜渐近线。函数在整个实轴连续，无竖直渐近线；两端函数值分别趋于正、负无穷，无水平渐近线。因此渐近线只有 $y = 2 x$ 。