1990 · 数学一 · 第 19 题 · 解答题

在图示圆弧上 $x > 0$ 。与 $O P = (x, y)$ 垂直且大小为 $x^{2} + y^{2}$ 的两个向量为 $(- y, x)$ 与 $(y, - x)$ 。因力与 $y$ 轴正向夹角小于 $\frac{π}{2}$ ，其纵分量为正，故 $F = (- y, x)$ 。

以 $A B$ 为直径的圆心为 $(2, 3)$ ，半径为 $2$ 。图示从 $A$ 到 $B$ 的右下半圆弧可参数化为

x = 2 + 2 cos θ, y = 3 + 2 sin θ, - \frac{3 π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{4} .

所作的功为

W = \int_{A}^{B} F \cdot d r = \int_{A}^{B} (- y d x + x d y) .

代入参数式，积分元化为

x d y - y d x = (2 + 22 cos θ + 32 sin θ) d θ .

因此

W = \int_{- \frac{3 π}{4}}^{\frac{π}{4}} (2 + 22 cos θ + 32 sin θ) d θ = 2 π + 4 - 6 = 2 π - 2.

答案