2006 · 数学二 · 第 15 题 · 解答题

试确定常数

A, B, C

的值，使得

e^{x} (1 + B x + C x^{2}) = 1 + A x + o (x^{3})

，其中

o (x^{3})

是当

x \to 0

时比

x^{3}

高阶的无穷小。

答案

$A = \frac{1}{3}, B = - \frac{2}{3}, C = \frac{1}{6}$

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在 $x \to 0$ 时展开左端：

e^{x} (1 + B x + C x^{2}) = 1 + (1 + B) x + (C + B + \frac{1}{2}) x^{2} + (C + \frac{B}{2} + \frac{1}{6}) x^{3} + o (x^{3}) .

右端的余项是 $o (x^{3})$ ，所以 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的系数都必须为零，而一次项系数等于 $A$ ：

C + B + \frac{1}{2} = 0, C + \frac{B}{2} + \frac{1}{6} = 0, A = 1 + B .

解得 $B = - \frac{2}{3}$ 、 $C = \frac{1}{6}$ ，进而 $A = \frac{1}{3}$ 。