1992 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {e^{- y}, 0, 0 < x < y 其他

。

答案

$f_{X} (x) = {e^{- x}, 0, x > 0 x \leq 0$

$P {X + Y \leq 1} = (1 - e^{- \frac{1}{2}})^{2}$

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当 $x > 0$ 时，联合密度的支集要求 $y > x$ ，所以

f_{X} (x) = \int_{x}^{+ \infty} e^{- y} d y = e^{- x} .

当 $x \leq 0$ 时支集为空，故 $f_{X} (x) = 0$ 。

条件 $0 < x < y$ 与 $x + y \leq 1$ 合并后给出 $0 < x < \frac{1}{2}$ 、 $x < y \leq 1 - x$ 。

因此

P {X + Y \leq 1} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{x}^{1 - x} e^{- y} d y d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (e^{- x} - e^{- (1 - x)}) d x = 1 - 2 e^{- \frac{1}{2}} + e^{- 1} = (1 - e^{- \frac{1}{2}})^{2} .