（1）设从开始冷却计时的时间为 $t$（min），温度为 $T(t)$（摄氏度）。根据题给冷却定律，$T^{\prime }=-k(T-20)$，其中 $k>0$，初值为 $T(0)=120$、$T(30)=30$。
（2）令温差 $u=T-20$，则 $u^{\prime }=-ku$。乘积分因子 ${\mathrm{e}}^{kt}$ 得 $({\mathrm{e}}^{kt}u{)}^{\prime }=0$，所以 $u=C{\mathrm{e}}^{-kt}$。由 $u(0)=100$，得 $T=20+100{\mathrm{e}}^{-kt}$；该表达式也说明有限时间内 $T-20>0$。
（3）由 $T(30)=30$ 得 $100{\mathrm{e}}^{-30k}=10$，所以 $k=\frac{\ln 10}{30}$，温度函数为 $T=20+100\cdot 10^{-\frac{t}{30}}$。令 $T=21$，得到 $10^{-\frac{t}{30}}=\frac{1}{100}$，故总冷却时间为 $t=60$ min。减去已经经过的 30 min，还需 30 min。
（4）核对：$T(0)=120$、$T(30)=30$、$T(60)=21$，且 $T^{\prime }=-k(T-20)$，均符合条件。

令温差 $u(t)=T(t)-20$，冷却方程为 $u^{\prime }=-ku$，所以任意固定时长 $h$ 都有 $\frac{u(t+h)}{u(t)}={\mathrm{e}}^{-kh}$。前 30 min 温差由 $100$ 降到 $10$，比例为 $\frac{1}{10}$；从 30 摄氏度降至 21 摄氏度，对应温差由 $10$ 降到 $1$，也是同一比例。因 $k>0$ 时温差严格递减，再经过相同的 30 min 即达到目标。