2017 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

记 $u = e^{x}$ 、 $v = cos x$ ， $f_{i}, f_{ij}$ 为 $f$ 的相应一阶、二阶偏导。 $x = 0$ 时中间变量为 $(u, v) = (1, 1)$ 。
（1）由链式法则， $y^{'} = e^{x} f_{1} (u, v) - sin x f_{2} (u, v)$ ，故 $y^{'} (0) = f_{1} (1, 1)$ 。
（2）再求导时，两个乘积都要求导，而且 $f_{1}, f_{2}$ 仍然依赖 $u, v$ 。具体地，

\frac{d}{d x} f_{1} (u, v) \frac{d}{d x} f_{2} (u, v) = e^{x} f_{11} - sin x f_{12}, = e^{x} f_{21} - sin x f_{22} .

代回乘积求导式，并用 $f_{12} = f_{21}$ ，得到

y^{''} = e^{x} f_{1} + e^{2 x} f_{11} - 2 e^{x} sin x f_{12} - cos x f_{2} + sin^{2} x f_{22} .

这里所有 $f$ 的偏导均在 $(e^{x}, cos x)$ 处取值。令 $x = 0$ ，含 $sin x$ 的项消失，而 $e^{0} = cos 0 = 1$ ，所以 $y^{''} (0) = f_{11} (1, 1) + f_{1} (1, 1) - f_{2} (1, 1)$ 。

答案