记 $e=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$，将矩阵按列写成 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$。每行元素之和为 $2$，等价于 $Ae=2e$，即 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=2e$。
将第一列换成 $e$，得到 $D=|e,{\alpha }_2,{\alpha }_3|$。第一列的代数余子式与该列元素无关，故按第一列展开有 $D=A_{11}+A_{21}+A_{31}$。再由行列式对第一列的线性性，

后两项因有相同的两列而为零，因此所求为 $\frac{3}{2}$。

令 $e=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$，则由每行元素之和为 $2$ 得 $Ae=2e$。由 $A^{\ast }A=|A|E$，右乘 $e$ 得 $A^{\ast }(Ae)=3e$，所以 $2A^{\ast }e=3e$，即 $A^{\ast }e=\frac{3}{2}e$。伴随矩阵的第一行是 $(A_{11},A_{21},A_{31})$，取上式第一分量，得 $A_{11}+A_{21}+A_{31}=\frac{3}{2}$。