2010 · 数学一 · 第 20 题 · 解答题

设

A = λ 01 1 λ - 1 1 10 λ

，

b = a 11

，已知线性方程组

A x = b

存在两个不同的解。

(1) 求 $λ, a$ ；
(2) 求方程组 $A x = b$ 的通解。

答案

第 1 问

$λ = - 1, a = - 2$ 。

第 2 问

$x = (\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}, 0)^{T} + k (1, 0, 1)^{T}$ ， $k \in R$ 。

查看解析展开

第 1 问

设两个不同的解为 $ξ_{1}, ξ_{2}$ ，则 $A (ξ_{1} - ξ_{2}) = 0$ 且差向量非零，所以 $∣ A ∣ = 0$ 。按第二行展开，得

∣ A ∣ = (λ - 1) (λ^{2} - 1) = (λ - 1)^{2} (λ + 1) .

因此 $λ = 1$ 或 $λ = - 1$ 。当 $λ = 1$ 时，第二个方程为 $0 = 1$ ，无解，排除。
当 $λ = - 1$ 时，对增广矩阵依次作 $r_{3} \leftarrow r_{3} + r_{1}$ 、 $r_{3} \leftarrow r_{3} + r_{2}$ ，得

(A, b) ⟶ - 1 00 1 - 2 0 100 a 1 a + 2 .

相容必须要求 $a + 2 = 0$ ，即 $a = - 2$ 。此时两个秩均为 $2 < 3$ ，确有无穷多解，满足存在两个不同解的条件。故 $λ = - 1, a = - 2$ 。

第 2 问

代入 $λ = - 1, a = - 2$ 后，将上一问阶梯形的第一行乘 $- 1$ 、第二行除以 $- 2$ ，再以第二行消去第一行的第二个元素，得到

(A, b) ⟶ 100010 - 1 00 \frac{3}{2} - \frac{1}{2} 0 .

因此 $x_{1} - x_{3} = \frac{3}{2}, x_{2} = - \frac{1}{2}$ 。取自由未知量 $x_{3} = k$ ，得通解

x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} 0 + k 101, k \in R .

特解代入原方程得到 $(- 2, 1, 1)^{T} = b$ ，方向向量代入得到零向量；解空间有一个自由参数，以上给出全部解。