1995 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

设函数

f (x) = \int_{0}^{x^{2}} (2 - t) e^{- t} d t

。

答案

最大值为 $1 + e^{- 2}$ ，在 $x = \pm 2$ 处取得

最小值为 $0$ ，在 $x = 0$ 处取得

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令 $u = x^{2} \geq 0$ ，并记 $F (u) = \int_{0}^{u} (2 - t) e^{- t} d t$ 。则 $F^{'} (u) = (2 - u) e^{- u}$ ，所以 $F$ 在 $[0, 2]$ 上增加、在 $[2, + \infty)$ 上减少。

故最大值在 $u = 2$ 处取得，

F (2) = [(t - 1) e^{- t}]_{0}^{2} = 1 + e^{- 2} .

对应 $x = \pm 2$ 。

沿用第一问的 $u = x^{2}$ 、函数 $F$ 及其单调性。有 $F (0) = 0$ ，且 $F$ 先增后减，而

u \to + \infty lim F (u) = \int_{0}^{+ \infty} (2 - t) e^{- t} d t = 1.

因此全局最小值为 $0$ ，在 $u = 0$ ，即 $x = 0$ 处取得。