由$F=fg$、$f^{\prime }=g$、$g^{\prime }=f$，有$F^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }=g^2+f^2$。

又$f^2+g^2=(f+g{)}^2-2fg=4e^{2x}-2F$，所以$F^{\prime }=4e^{2x}-2F$，即$F^{\prime }+2F=4e^{2x}$。

由$f(0)=0$、$f(0)+g(0)=2$得$F(0)=f(0)g(0)=0$。

第一问所得的方程$F^{\prime }+2F=4e^{2x}$的积分因子为$e^{2x}$，故$(e^{2x}F{)}^{\prime }=4e^{4x}$，从而$F=e^{2x}+C{e}^{-2x}$。

代入$F(0)=0$得$C=-1$，所以$F(x)=e^{2x}-e^{-2x}$。