先计算三个向量的内积：${\alpha }_1^T{\alpha }_2=-1+1=0$、${\alpha }_1^T{\alpha }_3=-1+1=0$、${\alpha }_2^T{\alpha }_3=-1+1=0$，且每个向量的模长平方都是 $3$，所以它们两两正交。
由 $\gamma =\sum _{j=1}^3{k}_j{\alpha }_j$，分别与 ${\alpha }_i$ 作内积，交叉项消失，得到 ${\gamma }^T{\alpha }_i=3k_i$。而

因此 $k_1=\frac{1}{3},k_2=-1,k_3=-\frac{1}{3}$，所求为 $k_1^2+k_2^2+k_3^2=\frac{1}{9}+1+\frac{1}{9}=\frac{11}{9}$。
等价地，令 $M=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，题设可写为 $M^{T}Mk=M^T\beta$；这里 $M^{T}M=3E$，所以三条条件分别确定三个系数，解唯一。