1994 · 数学三 · 第 7 题 · 选择题

设函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续，且

f (x) > 0

，则方程

\int_{a}^{x} f (t) d t + \int_{b}^{x} \frac{1}{f ( t )} d t = 0

在开区间

(a, b)

内的根有（　　）。

答案

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令

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t + \int_{b}^{x} \frac{1}{f ( t )} d t .

由 $f$ 连续且恒正， $F$ 在 $[a, b]$ 上连续，并在 $(a, b)$ 内可导。

有

F^{'} (x) = f (x) + \frac{1}{f ( x )} > 0,

所以 $F$ 严格递增。又

F (a) = - \int_{a}^{b} \frac{1}{f ( t )} d t < 0, F (b) = \int_{a}^{b} f (t) d t > 0.

由介值定理， $F$ 在 $(a, b)$ 内至少有一个零点；由严格单调性，该零点至多一个。因此方程恰有 $1$ 个根，选 B。