由 $\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 得交点 $(1,1)$。以这两条曲线及 $y$ 轴为边界的区域为 $0<x\le 1$，$\sqrt{x}\le y\le \frac{1}{\sqrt{x}}$，当 $x\to 0^{+}$ 时向上无界。
被积函数 $e^{x}xy$ 非负，先在 $\epsilon \le x\le 1$ 上积分，再令 $\epsilon \downarrow 0$，由单调收敛得到

最后的被积函数在 $[0,1]$ 上连续，故原反常积分收敛。由分部积分，

所以 $I=\frac{[(e-1)-(e-2)]}{2}=\frac{1}{2}$。
若改成先对 $x$ 积分，正确区域应分为 $0\le y\le 1$ 时 $0\le x\le y^2$，以及 $y\ge 1$ 时 $0\le x\le \frac{1}{y^2}$；不能把前一段写成 $y^2\le x\le 1$。