2001 · 数学一 · 第 1 题 · 填空题

设

y = e^{x} (c_{1} sin x + c_{2} cos x)

（

c_{1}, c_{2}

为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为。

答案

$y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = 0$

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通解中的基本解为 $e^{x} sin x$ 与 $e^{x} cos x$ ，对应特征根 $1 \pm i$ 。

特征多项式为 $(r - 1)^{2} + 1 = r^{2} - 2 r + 2$ ，故所求方程为 $y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = 0$ 。