令 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$。改变积分变量并利用 $f$ 为奇函数，有

因此 $F$ 是偶函数。$f$ 在 $0$ 处只有第一类间断，局部有界，故其积分函数 $F$ 在 $0$ 处连续；在其他点也连续。所以选连续的偶函数，即 B。