2015 · 数学二 · 第 16 题 · 解答题

在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上 $A sin x \geq 0$ ，区域为 $0 \leq y \leq A sin x$ 。
（1）绕 $x$ 轴用圆盘法，再用 $sin^{2} x = \frac{( 1 - cos 2 x )}{2}$ 降幂：

V_{1} = π A^{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2} x d x = π A^{2} [\frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4}]_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π ^{2} A ^{2}}{4} .

（2）绕 $y$ 轴用柱壳法，半径为 $x$ 、高为 $A sin x$ ，故 $V_{2} = 2 π A \int_{0}^{\frac{π}{2}} x sin x d x$ 。分部积分得

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x sin x d x = [- x cos x]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x = [- x cos x + sin x]_{0}^{\frac{π}{2}} = 1,

所以 $V_{2} = 2 π A$ 。
（3）由 $V_{1} = V_{2}$ ， $\frac{π ^{2} A ^{2}}{4} = 2 π A$ 。利用 $A > 0$ 约去 $π A$ ，得 $π \frac{A}{4} = 2$ ，故 $A = \frac{8}{π}$ ； $A = 0$ 不符合题设。

答案