1995 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

设三阶矩阵

A

满足

A α_{i} = i α_{i}

（

i = 1, 2, 3

），其中列向量

α_{1} = (1, 2, 2)^{T}, α_{2} = (2, - 2, 1)^{T}, α_{3} = (- 2, - 1, 2)^{T}

，试求矩阵

A

。

答案

$A = \frac{7}{3} 0 - \frac{2}{3} 0 \frac{5}{3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} 2$

直接计算得 $α_{i}^{T} α_{j} = 0 (i \neq = j)$ ，且 $α_{i}^{T} α_{i} = 9$ 。因此三个向量构成 $R^{3}$ 的一组正交基。

由 $A α_{i} = i α_{i}$ ，矩阵 $A$ 的谱分解为

A = \frac{1}{9} (α_{1} α_{1}^{T} + 2 α_{2} α_{2}^{T} + 3 α_{3} α_{3}^{T}) .

计算外积并相加，得到

A = \frac{1}{9} 210 - 6 015 - 6 - 6 - 6 18 = \frac{7}{3} 0 - \frac{2}{3} 0 \frac{5}{3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} 2 .