矩阵可写成 $A=(k-1)I+J$，其中 $J$ 为四阶全 $1$ 矩阵。因此其特征值为 $k+3$（一次）和 $k-1$（三次）。

要使秩为 $3$，必须恰有一个特征值为零，故 $k+3=0$ 且 $k-1\ne 0$，从而 $k=-3$。