令 $p=y^{\prime }$。在 $x>0$ 上，$x{p}^{\prime }-p+2=0$，即 ${\left(\frac{p}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{2}{x^2}$，所以 $p=2+Cx$。

积分并利用曲线过原点，得 $y=2x+\frac{C}{2}{x}^2$。区域在 $0\le x\le 1$ 内，面积条件给出

故 $C=6$，即 $y=2x+3x^2$。

绕 $y$ 轴用柱壳法：