在 $(1,2)$ 的邻域内，$\frac{y}{x}>0$，故可写成 $z=\exp g$，其中 $g(x,y)=\frac{x}{y}\ln \frac{y}{x}$。

固定 $y$，对 $x$ 求导得 $\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{1}{y}\ln \frac{y}{x}-\frac{1}{y}$，从而 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{z}{y}\left(\ln \frac{y}{x}-1\right)$。

由于 $z(1,2)=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$，所以