2019 · 数学二 · 第 19 题 · 解答题

设

n

是正整数，记

S_{n}

为曲线

y = e^{- x} sin x (0 \leq x \leq nπ)

与

x

轴所围成图形的面积。

(1) 求 $S_{n}$ ；
(2) 求 $n \to \infty lim S_{n}$ 。

答案

第 1 问

$\frac{( 1 + e ^{- π} ) ( 1 - e ^{- nπ} )}{2 ( 1 - e ^{- π} )}$

第 2 问

$\frac{e ^{π} + 1}{2 ( e ^{π} - 1 )}$

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第 1 问

（1）分段表示面积。 $e^{- x} > 0$ ，曲线的零点为 $x = k π$ （ $k = 0, 1, 2, \dots$ ）。在相邻零点之间正弦不变号，记第 $k$ 段面积为 $A_{k} = \int_{k π}^{(k + 1) π} e^{- x} ∣ sin x ∣ d x$ 。令 $x = k π + t$ ，则 $0 \leq t \leq π$ ， $d x = d t$ ，且 $∣ sin (k π + t) ∣ = sin t$ ，所以

A_{k} = e^{- k π} \int_{0}^{π} e^{- t} sin t d t = e^{- k π} A_{0} .

（2）计算首段面积。连续两次分部积分，得

\int e^{- t} sin t d t = - e^{- t} sin t + \int e^{- t} cos t d t = - e^{- t} (sin t + cos t) - \int e^{- t} sin t d t .

移项可得原函数 $- \frac{1}{2} e^{- t} (sin t + cos t)$ ，故

A_{0} = [- \frac{1}{2} e^{- t} (sin t + cos t)]_{0}^{π} = \frac{1 + e ^{- π}}{2} .

（3）求前 $n$ 段面积。区间 $[0, nπ]$ 包含编号 $k = 0, \dots, n - 1$ 的 $n$ 段，由有限等比数列求和公式，

S_{n} = k = 0 \sum n - 1 A_{k} = A_{0} \frac{1 - e ^{- nπ}}{1 - e ^{- π}} = \frac{( 1 + e ^{- π} ) ( 1 - e ^{- nπ} )}{2 ( 1 - e ^{- π} )} .

第 2 问

由第一问， $S_{n} = \frac{( 1 + e ^{- π} ) ( 1 - e ^{- nπ} )}{2 ( 1 - e ^{- π} )}$ 。因为 $0 < e^{- π} < 1$ ，所以 $e^{- nπ} \to 0$ ，从而

n \to \infty lim S_{n} = \frac{1 + e ^{- π}}{2 ( 1 - e ^{- π} )} = \frac{e ^{π} + 1}{2 ( e ^{π} - 1 )} .

这是曲线在整个非负半轴上与 $x$ 轴之间的总面积。