1987 · 数学三 · 第 9 题 · 解答题

设

D

是曲线

y = sin x + 1

与三条直线

x = 0

，

x = π

，

y = 0

围成的曲边梯形。求

D

绕

x

轴旋转一周所生成的旋转体的体积

V

。

答案

$V = \frac{3 π ^{2}}{2} + 4 π$

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在 $[0, π]$ 上有 $1 + sin x \geq 0$ 。绕 $x$ 轴旋转所得截面为半径 $1 + sin x$ 的圆盘，故

V = π \int_{0}^{π} (1 + sin x)^{2} d x .

计算得

\int_{0}^{π} (1 + 2 sin x + sin^{2} x) d x = π + 4 + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2} + 4.

因而

V = \frac{3 π ^{2}}{2} + 4 π .